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以李文目前的水平,普通高考难度的题对他来说,基本没有什么挑战了,他剩下没做的题目都至少是预赛难度的。
这张满分一百的挑战杯试卷,现在他还剩下两道解答题,和一道关于几何的填空题没有写。
剩下的第一道解答题,偏重考察不等式的内容,其中第一小问比较简单,李文轻而易举的就做了出来。
但第二小问却比较难,是一个关于x,y,z的三元不等式的证明。
题目要求证明三个带有x,y,z字母的式子,加起来能够大于等于一个常数。
其中,必须存在使等号成立的情况,并且x,y,z皆为正数。
所谓【存在使等号成立的情况】,换句话说,就是在所有满足题目条件的常数值中,找到最大的那个。
满足小于左边式子的常数会有无限个,但是满足【让等号成立】的最大值只会有一个。
李文观察了一下题目,左边的三个式子虽然结构比较相似,但却并不是传统的轮换对称式,这就减少了套用一些方法的可能。
不过,这也是一个思维的突破口,可以从这个角度来剖析题目。
对这道题,李文打算先用常规方法尝试一遍。
不然,要是能用简单办法做出来,自己却尝试了很久的非常规做法,也太亏了。
把三个式子合并,再把常数值移到大于等于号的左边,这样只用证明大于等于0就可以了。
李文尝试去配凑了一下,却发现这样做非常的困难。而且,自己现在并不知道这道题的常数值是什么。
李文又尝试着用柯西不等式结合一些基础不等式来做一做,可化解到最后还是不行。
“看来这道题只能用非常规的方法来做了。”李文得出了结论。
改变思路,去循着刚才找到的那个突破口,李文尝试了几次,却都铩羽而归。
“不等式的题目,完全无从下手啊。”李文的心里有些焦急,“再继续下去,我只能乱猜答案了。”
“乱猜猜,”自言自语了几句之后,李文突然反应了过来,“不等式的题目就是应该先猜后证的啊。”
“我可以先用一些特殊值,来得猜一猜那个最终要得到的常数值。”
代入了几个靠谱的常数,尝试了几次以后,李文发现,得到的值一直都是三点几。
“最终值会不会是三?”李文对这道题,产生了继续探索下去的欲望,“他打算用一个更加【巧妙】的方法来配凑数值。”
先假设三个未知数的值是相等的,这样就把三个三元式,变成了一个一元式。
再运用函数的知识,求这个一元式的极小值,李文最后得到了在这个一元结果下的最小值——3。
虽然过程是猜的,但也不是凭空乱猜,是用了一定的方法的,并且还得到了一个整数值作为结果。
李文十分相信这个答案。
“果然是3!”猜出了常数,题目就已经完成了一半了,感到有些欣喜的李文继续探索了下去。
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